Matlab: Singular and Nonsingular Matrices 奇異矩陣/非奇異矩陣

inverse matrix 逆矩陣/反矩陣

Nonsingular

If determinant ≠ 0 => i.e. the inverse matrix exists.
=> the matrix is invertible/non-singular.

invertible matrix 可逆矩陣
nonsingular matrix 非奇異矩陣/非特異矩陣

nondegenerate matrix 非退化矩陣

AB = BA = I

B = A^-1 = adj(A)/det(A)

where
adj(A) = adjoint matrix 伴隨矩陣 of A
det(A) = determinant 行列式 of A

>> a = [1 1 ; 2 1]

a =

     1     1
     2     1

>> det(a)

ans =

    -1

>> b = inv(a)

b =

    -1     1
     2    -1

>> a*b

ans =

     1     0
     0     1

>> b*a

ans =

     1     0
     0     1

Singular

If determinant = 0 => the matrix is invertible.

non-invertible matrix 不可逆矩陣

singular matrix 奇異矩陣/特異矩陣
degenerate matrix 退化矩陣

>> a = [2 3;1 1.5]

a =

    2.0000    3.0000
    1.0000    1.5000

>> det(a)

ans =

     0

>> b = inv(a)
Warning: Matrix is singular to working precision. 

b =

   Inf   Inf
   Inf   Inf

>>

Example:

References

奇異矩陣 singular matrix (國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網)
Invertible matrix (Wikipedia)

Correlation Matrix 相關矩陣

correlation matrix 相關矩陣
一個穩態離散時間隨機過程可以一個時間序列來表示(M×1)，而當我們把這個隨機時間序列乘以它的赫密特轉置矩陣(1×M)，所得到的期望值(因為時間序列是隨機的)即是這個時間序列的相關矩陣(M×M)。

R = E[ u(n) u^H(n) ]

R: correlation matrix
u(n) : stochastic process
u^H(n) : Hermitian transpose
E: expectation

Hermitian transpose 赫密特轉置矩陣
將一個矩陣轉置並取共軛複數(complex conjugate)

在Matlab中，可直接以'符號求得Hermitian transpose，或使用ctranspose function

>> a = [1 1+j;2-j -2]

a =

   1.0000 + 0.0000i   1.0000 + 1.0000i
   2.0000 - 1.0000i  -2.0000 + 0.0000i

>> a'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   2.0000 + 1.0000i
   1.0000 - 1.0000i  -2.0000 + 0.0000i


Hermitian matrix/self-adjoint matrix 埃爾米特矩陣/厄米特矩陣/自伴隨矩陣

共軛對稱的方塊矩陣，即 A = (A^T)^*，則A的Hermitian transpose等於A自己，即 A^H = A

Example:

>> a = [1 3+j; 3-j -2]

a =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 1.0000i
   3.0000 - 1.0000i  -2.0000 + 0.0000i

>> a'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 1.0000i
   3.0000 - 1.0000i  -2.0000 + 0.0000i

>> isequal(a,a')

ans =

  logical

   1

>> 

References:

Haykin, S. S. (2014). Adaptive filter theory. 5th edition, Pearson Education. pp 52-56.
Conjugate transpose (Wikipedia)
Hermitian matrix (Wikipedia) 埃爾米特矩陣(維基百科)